已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn都在函数f=x2+2x的图象上．求数列{an}的通项公式；若bn=1an•

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=1an•an+1，求数列{b_n}的前n项和为B_n；
（3）设cn=tan(t＞0)，数列{c_n}的前n项和T_n，求limn→∞Tn+1Tn的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本题满分（14分），第（1）小题（5分），第（2）小题（5分），第（3）小题4分））
（1）因为点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上
所以Sn=n2+2nn∈N*------------------------（1分）
当n=1时，a₁=S₁=1+2=3
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1（*）
令n=1，a₁=2+1=3，也满足（*）式-------------------（3分）
所以，数列{a_n}的通项公式是a_n=2n+1．------------------------（4分）
（2）bn=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)------------------------（6分）
∴Bn=12[(13-15)+(15-17)+…+(12n+1-12n+3)]=12(13-12n+3)=n6n+9---------------（8分）
（3）因为cn=t2n+1，所以cn+1cn=t2，
则数列{c_n}成公比为等比数列t²的等比数列．
∵t＞0
当t=1时，T_n=n；t＞0，t≠1，Tn=t3(1-t2n)1-t2；------------------------（10分）
当t=1时，limn→∞Tn+1Tn=limn→∞n+1n=1
当t＞1时，limn→∞Tn+1Tn=limn→∞1-t2n+21-t2n=t2
当0＜t＜1时，limn→∞Tn+1Tn=limn→∞1-t2n+21-t2n=1．
∴limn→∞Tn+1Tn=1，0＜t≤1t2，t＞1-------------（14分）

解析

1(2n+1)(2n+3)

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：