已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，数列{bn}中，b1=1，且点在直线y=x-1上．求数列{an}的通项公式；求

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3，数列{b_n}中，b₁=1，且点（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若c_n=a_n+3，求数列{b_nc_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+3得a_n+1+3=2（a_n+3）
所以{a_n+3}是首项为a₁+3=4，公比为2的等比数列．
所以a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，故a_n=2ⁿ⁺¹-3
（Ⅱ）因为（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上，
所以b_n=b_n+1-1即b_n+1-b_n=1又b₁=1
故数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以b_n=n
（Ⅲ）c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹-3+3=2ⁿ⁺¹故b_nc_n=n•2ⁿ⁺¹
所以S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹
故2S_n=1×2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²
相减得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2=4(2n-1)2-1-n•2n+2=(1-n)2n+2-4
所以S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4

解析

4(2n-1)2-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，an+1=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：