已知等差数列{an}的首项a1=1，且公差d＞0，它的第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．求数列{an}与{bn}的通

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，且公差d＞0，它的第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对n∈N^*均有c1b1+c2b2+…+cnbn=an+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₁的值；
（3）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n；并求满足S_n＜168的最大正整数n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
∵d＞0
∴d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
∴b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
故数列{b_n}的公比是3，
∴b_n=3•3^n-2=3^n-1
（2）由c1b1+c2b2+…+cnbn=a_n+1
得当n≥2时，c1b1+c2b2+…+cn-1bn-1=a_n
两式相减得cnbn=a_n+1-a_n=2，
∴c_n=2b_n=2×3^n-1（n≥2）
n=1时，c₁=3
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₁=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹¹=3²⁰¹¹
（3）S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）×3^n-1 ①
∴3S_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）3ⁿ ①
①-②得：-2S_n=-1+2（1+3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）×3ⁿ
∴S_n=1+（n-1）3ⁿ
∵S_n是递增数列，且知S₃=55，S₄=244
∴满足S_n＜168的最大正整数n=3．

解析

c1b1

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项a1=1，且公.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：