设Sn是数列{an}的前n项和，所有项an＞0，且Sn=14an2+12an-34，求数列{an}的通项公式．已知bn=2n，求Tn=a1b1+a2

题文

设S_n是数列{a_n}的前n项和，所有项a_n＞0，且Sn=14an2+12an-34，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）已知b_n=2ⁿ，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）n=1时，a1=s1=14a21+12a1-34，解出a₁=3
又4s_n=a_n²+2a_n-1-3①
4s_n-1=a_n-1²+2a_n-3（n≥2）②
①-②4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n+a_n-1＞0
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）
∴数列{a_n}是以3为首项，2为公差之等差数列
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
（Ⅱ）T_n=3×2¹+5×2²++（2n+1）•2ⁿ+0③
又2T_n=0+3×2²++（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹④
④-③T_n=-3×2¹-2（2²+2³++2ⁿ）+（2n+1）2ⁿ⁺¹=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设Sn是数列{an}的前n项和，所有项a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：