已知函数f=logax及数列{an}．使得2，f，f，…，f，2n+4构成等差数列．求数

题文

已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）及数列{a_n}．
使得2，f（a₁），f（a₂），…，f（a₁），2n+4构成等差数列（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n，当0＜a＜1时，求limn→∞Sn；
（Ⅲ）若b_n=a_n•f（a_n），当a＞1时，试比较b_n与b_n+1的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
∵f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
2，f（a₁），f（a₂），…，f（a₁），2n+4构成等差数列（n=1，2，…）．
∴2n+4=2+[（n+2）-1]•d，
∴d=2…（2分）
故f（a_n）=2+[（n+1）-1]×2=2n+2…（4分）
即f（a_n）=log_aa_n=2n+2
∴a_n=a²ⁿ⁺²（a＞0且 a≠1）…（6分）
（Ⅱ）∵a≠1
∴Sn=a4+a6+a8+…+a2n+2=a4(1-a2n)1-a2…（8分）
∵limn→∞a2n=0，
∴0＜a＜1，
∴limn→∞Sn=a41-a2．…（10分）
（Ⅲ）∵b_n=a_nf（a_n）=a²ⁿ⁺²（2n+2）＞0
因为a＞1且n+2n+1=1+1n+1＞1，
∴bn+1bn=(2n+4)a2n+4(2n+2)a2n+2=(n+2)(n+1)•a2＞1…（13分）
故b_n+1＞b_n…（16分）

解析

a4(1-a2n)1-a2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=logax（a＞0且a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：