已知{an}为等差数列，{bn}为各项均是正数的等比数列，且a1=b1=1，a2+a4=b3，b2b4=a3求：数列{an}、{bn}的通项公式an、bn

题文

已知{a_n}为等差数列，{b_n}为各项均是正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₂+a₄=b₃，b₂b₄=a₃
求：（Ⅰ）数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n、b_n；
（Ⅱ）数列{8a_nb²_n}的前n项的和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） 设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q（q＞0），得2a₃=a₂+a₄，b₃²=b₂•b₄，
      又a₂+a₄=b₃，b₂•b₄=a₃，
∴2b₃²=b₃
∵b_n＞0∴b3=12
由 b3=1•q2=12得q=22（2分）
由2a3=12，a₁=1得：d=-38（4分）
∴an=118-38n，bn=21-n2（n∈N₊） （6分）
（Ⅱ）设cn=8an，dn=bn2显然数列{cn}是以8为首项，公差为-3的等差数列，数列{dn}是以1为首项，公比为12的等比数列，s_n=c₁d₁+c₂d₂+…+c_nd_n①等式两边同乘以12，
得12Sn=c1d2+c2d3+…+cn-1dn+cndn+1②
由①-②得12Sn=c1d1-3d2-3d3-…-3dn-cndn+1
=8-3•12(1-(12)n-1)1-12-(11-3n)•2-n
=5+3n-52n
因此  Sn=10+3n-52n-1（n∈N₊） （9分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}为等差数列，{bn}为各项均.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：