已知各项均不相等的等差数列{an}的前三项和S3=9，且a5是a3和a8的等比中项．求数列{an}的通项公式；设Tn为数列{1anan+1}的前n项

题文

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前三项和S₃=9，且a₅是a₃和a₈的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{1anan+1}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对任意的n∈N^*恒成立，求证：λ≥116． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列{a_n}的公差为d，则
∵S₃=9，且a₅是a₃和a₈的等比中项，
∴3a1+3d=9(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d)
∵d≠0，∴d=1
∴a₁=2
∴a_n=n+1；
（2）证明：∵1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2
∴T_n=12-13+13-14+…+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2)
∵T_n≤λa_n+1对任意的n∈N^*恒成立，
∴n2(n+2)≤λ(n+2)对任意的n∈N^*恒成立，
∵n2(n+2)2=12(n+4n+4)≤12×(4+4)=116
∴λ≥116．

解析

3a1+3d=9(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d)

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均不相等的等差数列{an}的前三.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：