题文
已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（an，an+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若列数{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bn•bn+2＜b2n+1． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1，
所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．
故an=1+（a-1）×1=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n．
bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）++（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2++2+1
=1-2n1-2=2n-1
∵bn•bn+2-bn+12=（2n-1）（2n+2-1）-（2n+1-1）2
=（22n+2-2n-2n+2+1）-（22n+2-2•2n+1+1）
=-2n＜0
∴bn•bn+2＜bn+12
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）∵b2=1
bn•bn+2-bn+12=（bn+1-2n）（bn+1+2n+1）-bn+12
=2n+1•bn+1-2n•bn+1-2n•2n+1
=2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n＜0
∴bn•bn+2＜bn+12
解析
1-2n1-2考点
据考高分专家说，试题“已知{an}是正数组成的数列，a1=1，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式等差数列的通项公式:
an=a1+（n-1）d，n∈N*。
an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
an=kn+b（k≠）
｛an｝为等差数列，反之不能。
对等差数列的通项公式的理解：
①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a1和d是基本量，只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，
等差数列公式的推导：
等差数列的通项公式可由
归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：
