数列{an}中a1=3，已知点在直线y=x+2上，求数列{an}的通项公式；若bn=an•3n，求数列{bn}的前n项和Tn．

题文

数列{a_n}中a₁=3，已知点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n•3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上．
∴数列{a_n}是以3为首项，以2为公差的等差数，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
（2）∵b_n=a_n•3ⁿ，
∴b_n=（2n+1）•3ⁿ∴T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ①
∴3T_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹②
由①-②得-2T_n=3×3+2（3²+3³++3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
=9+2×9(1-3n-1)1-3-(2n+1)•3n+1=-2n•3ⁿ⁺¹
∴T_n=n•3ⁿ⁺¹．

解析

9(1-3n-1)1-3

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中a1=3，已知点（an，a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：