将等差数列{an}的所有项依次排列，并如下分组：，，，…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n

题文

将等差数列{a_n}的所有项依次排列，并如下分组：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆，a₇），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有2^n-1项，记T_n为第n组中各项的和，已知T₃=-48，T₄=0，
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{T_n}的通项公式；
（III）设数列{ T_n }的前n项和为S_n，求S₈的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设{a_n}的公差为d，
由题意T₃=4a₇-6d=-48①，
T₄=8a₇+36d=0②，
解①、②得d=2，a₇=-9，
∴a_n=2n-23；
（II）当n≥2时，在前n-1组中共有项数为：1+2+…+2^n-2=2^n-1-1，
故第n组中的第一项是{a_n}中的第2^n-1项，且第n组中共有2^n-1项，
∴第n组中的2^n-1项的和：
Tn=(2n-23)×2n-1+2n-1(2n-1-1)2×2
=3×2^2n-2-24×2^n-1．
当n=1时，T₁=a₁=-21适合上式，
∴T_n=3×2^2n-2-24×2^n-1．
（III）∵S₈=T₁+T₂+T₃+…+T_n，
即数列{a_n}前8组元素之和，且这8组总共有1+2+2²+…+2⁷=2⁸-1=255，
∴S₈=255a1+12×255×254×d
=255×（-21）+12×255×254×2
=59415．

解析

2n-1(2n-1-1)2

考点

据考高分专家说，试题“将等差数列{an}的所有项依次排列，并如.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：