已知等差数列{an}满足：an+1＞an，a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项．分别求数列{an}，{

题文

已知等差数列{a_n}满足：a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（Ⅱ）设Tn=a1b1+a2b2+…+anbn(n∈N*)，若Tn+2n+32n-1n＜c(c∈Z)恒成立，求c的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设d、q分别为数列{a_n}、数列{b_n}的公差与公比，a₁=1．
由题可知，a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{b_n}的前三项，
∴（2+d）²=2（4+2d）⇒d=±2．
∵a_n+1＞a_n，
∴d＞0．
∴d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）．
由此可得b₁=2，b₂=4，q=2，
∴b_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=12+322+523+…+2n-12n，①
∴12Tn=122+323+524+…+2n-12n+1．②
①-②，得12Tn=12+(122+123+…+12n)-2n-12n+1．
∴Tn=1+1-12n-11-12-2n-12n=3-12n-2-2n-12n=3-2n+32n．
∴Tn+2n+32n-1n=3-1n．
∵(3-1n)在N^*是单调递增的，
∴(3-1n)∈[2，3)．
∴Tn+2n+32n-1n=3-1n＜3
∴满足条件Tn+2n+32n-1n＜c(c∈Z)恒成立的最小整数值为c=3．

解析

a1b1

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}满足：an+1＞an.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：