已知an≥0，n∈N*，关于x的一元二次方程x2-anx-1=0的两实数根αn、βn满足αn＞βn，且a1=0，an+1=αn-βn．求数列{αn}和{β

题文

已知a_n≥0，n∈N^*，关于x的一元二次方程x²-a_nx-1=0的两实数根α_n、β_n满足  α_n＞β_n，且a₁=0，a_n+1=α_n-β_n．
（1）求数列{α_n}和{β_n}的通项公式；
（2）求limn→∞β1+β2+…+βnαn的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵α_n＞β_n，且a₁=0，a_n+1=α_n-β_n，
∴αn+βn=an，αnβn=-1，an+1=αn-βn=(αn+βn)2-4αnβn=an2+4⇒an+12-an2=4，
∴{a_n²}是一个以0为首项，4为公差的等差数列．∴an2=4(n-1)⇒an=2n-1，
∴αn+βn=2n-1αn-βn=2n⇒αn=n+n-1，βn=n-1-n．
（2）limn→∞β1+β2+…+βnαn=limn→∞-1+1-2+2-3+…+n-1-nn+n-1=limn→∞-nn+n-1=-12．

解析

(αn+βn)2-4αnβn

考点

据考高分专家说，试题“已知an≥0，n∈N*，关于x的一元二次.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：