正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0求数列{an}的通项公式an；令bn=n+1(n+2)2an2，数

题文

正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n²-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b n=n+1(n+2)2an2，数列{b_n}的前n项和为T_n．证明：对于任意n∈N^*，都有T n＜564． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由S_n²-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0
可得，[sn-(n2+n)]（s_n+1）=0
∵正项数列{a_n}，s_n＞0
∴s_n=n²+n
于是a₁=s₁=2
n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，而n=1时也适合
∴a_n=2n
（II）证明：由b n=n+1(n+2)2an2=n+1(n+2)2•4n2=116[1n2-1(n+2)2]
∴Tn=116[1-132+122-142+…+1(n-1)2-1(n+1)2+1n2-1(n+2)2]
=116[1+14-1(n+1)2-1(n+2)2]
＜116(1+14)=564

解析

n+1(n+2)2an2

考点

据考高分专家说，试题“正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：