已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．求{an}的通项公式；求a1+a4+a7+…+a3n-2．

题文

已知等差数列{a_n}的公差不为零，a₁=25，且a₁，a₁₁，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
由题意a₁，a₁₁，a₁₃成等比数列，∴a211=a1a13，
∴(a1+10d)2=a1(a1+12d)，化为d（2a₁+25d）=0，
∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=-2．
∴a_n=25+（n-1）×（-2）=-2n+27．
（II）由（I）可得a_3n-2=-2（3n-2）+27=-6n+31，可知此数列是以25为首项，-6为公差的等差数列．
∴S_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2=n(a1+a3n-2)2
=n(25-6n+31)2
=-3n²+28n．

解析

a211

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差不为零，a1=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：