在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．已知数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；若bn=1anan+1，

题文

在公差不为0的等差数列{a_n}中，a₁，a₄，a₈成等比数列．
（1）已知数列{a_n}的前10项和为45，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=1anan+1，且数列{b_n}的前n项和为T_n，若Tn=19-1n+9，求数列{a_n}的公差． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁，a₄，a₈成等比数列可得，a42=a1•a8．
即(a1+3d)2=a1(a1+7d)，
∴a12+6a1d+9d2=a12+7a1d，而d≠0，∴a₁=9d．
（1）由数列{a_n}的前10项和为45，得S10=10a1+10×92d=45，
即90d+45d=45，故d=13，a₁=3，
故数列{a_n}的通项公式为an=3+(n-1)•13=13(n+8)；
（2）bn=1an•an+1=1d(1an-1an+1)，
则数列{b_n}的前n项和为T_n=1d[(1a1-1a2)+(1a2-1a3)+…+(1an-1an+1)]
=1d(1a1-1an+1)=1d(19d-19d+nd)=1d2(19-1n+9)=19-1n+9．
故数列{a_n}的公差d=1或d=-1．

解析

10×92

考点

据考高分专家说，试题“在公差不为0的等差数列{an}中，a1，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：