已知当x=5时，二次函数f=ax2+bx+c取得最小值，等差数列{an}的前n项和Sn=f，a2=-7．求数列{an}的通项公式；数列{

题文

已知当x=5时，二次函数f（x）=ax²+bx+c取得最小值，等差数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），a₂=-7．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=an2n，证明Tn≤-92． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=a+b+c，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a，
又a₁适合上式，得2a+b-a=a+b+c，∴c=0．
由已知a2=4a+b-a=3a+b=-7，-b2a=5，
解方程组3a+b=-7-b2a=5得a=1b=-10
∴a_n=2n-11．
（Ⅱ）bn=2n-112n，
∴Tn=-92+-722+…+2n-112n①12Tn=…-922+…+2n-132n+2n-112n+1②
①-②得12Tn=-92+222+…+22n-2n-112n+1
=-92+12(1-12n-1)1-12-2n-112n+1=-72-12n-1-2n-112n+1，
∴Tn=-7-2n-72n．
则T1=-92，T2=-92-72＜-92，T3=-92-72-52＜-92，
当n≥4时，2n-72n＞0，∴Tn=-7-2n-72n＜-7＜-92，
综上，得Tn≤-92．

解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“已知当x=5时，二次函数f（x）=ax2.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：