已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．求数列{an}的通项公式；设b

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=1n(an+3)（n∈N*），S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S_n，是否存在实数t，使得对任意的n均有：8S_n≤t（a_n+3）成立？若存在，求出t的范围，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）2，…2 分
整理得2a₁d=d2．
∵a₁=1，解得（d=0舍），d=2．  …4 分
∴a_n=2n-1（n∈N*）．   …6 分
（Ⅱ）b_n=1n(an+3)=12n(n+1)=12（1n-1n+1），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=12[（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）]=12（1-1n+1）=n2(n+1)．   …10 分
（Ⅲ）假设存在整数t满足8S_n≤t（a_n+3）总成立．
得t≥2n(n+1)2，而2n(n+1)2=2n+1n+2≤22+2=12，即2n(n+1)2的最大值为12，
∴t≥12适合条件  …（12分）

解析

1n(an+3)

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项a1=1，公差.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：