已知数列{an}的前n项和Sn=12n(n-1)，且an是bn与1的等差中项．求数列{an}和数列{bn}的通项公式；若cn=1nan(n≥2)，求

题文

已知数列{a_n}的前n项和Sn=12n(n-1)，且a_n是b_n与1的等差中项．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）若cn=1nan(n≥2)，求c₂+c₃+c₄+…+c_n；
（3）若f(n)=an，n=2k-1bn，n=2k(k∈N*)，是否存在n∈N*使得f（n+11）=2f（n），并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=12n（n-1）-12（n-1）（n-2）=n-1，
把n=1代入验证，满足通项公式，
则a_n=n-1，又a_n是b_n与1的等差中项，
则b_n=2a_n-1=2（n-1）-1=2n-3；
（2）因为a_n=n-1，
所以cn=1n(n-1)=1n-1-1n(n≥2)，
则c₂+c₃+c₄+…+c_n=1-12+12-13+13-14…+1n-1-1n=1-1n；
（3）不存在，理由为：
当n是奇数时，n+11为偶数，
此时f（n）=a_n=n-1，f（n+11）=b_n+11=2n+19，
由f（n+11）=2f（n）知无解；
当n是偶数时，n+11为奇数，
此时f（n）=b_n=2n-3，f（n+11）=a_n+11=n+10，
由f（n+11）=2f（n）知无解，
所以满足题意的n不存在．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=12n(.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：