已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1=2，nan+1=Sn+n，求{an}的通项公式；令Tn=(45)nSn，问是否存在正整数m

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令Tn=(45)nSn，问是否存在正整数m，对一切正整数n，总有T_n≤T_m，若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令n=1，由a₁=2及na_n+1=S_n+n（n+1）①
得a₂=4，故a₂-a₁=2，当n≥2时，有（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1）②
①-②得：na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n
整理得，a_n+1-a_n=2（n≥2）
当n=1时，a₂-a₁=2，
所以数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，
故a_n=2n…（6分）
（2）由（1）得S_n=n（n+1），
所以Tn=(45)nSn=(45)n(n2+n)．
故Tn-1=(45)n-1[(n-1)2+(n-1)]，Tn+1=(45)n+1[(n+1)2+(n+1)]，
令Tn≥Tn-1Tn≥Tn+1，即(45)n(n2+n)≥(45)n-1[(n-1)2+(n-1)](45)n(n2+n)≥(45)n+1[(n+1)2+(n+1)]
解得8≤n≤9．
故T₁＜T₂＜…＜T₈=T₉＞T₁₀＞T₁₁＞…
故存在正整数m对一切正整数n，
总有T_n≤T_m，此时m=8或m=9…..（13分）

解析

45

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：