已知{an}是首项为1，公差为1的等差数列；若数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an．求{an}的通项公式；求数列{bn}的通项公式；（3

题文

已知{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列；若数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2^a_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）由（1）知，bn+1=bn+2n
∴bn+1-bn=2n
∴n≥2时，bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1)=1+2+…+2n-1=1-2n1-2=2ⁿ-1
n=1时，结论也成立
∴b_n=2ⁿ-1；
（3）数列{b_n}的前n项和T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-2n=2(1-2n)1-2=2ⁿ⁺¹-2n-2．

解析

1-2n1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是首项为1，公差为1的等差数.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：