若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0的四个根组成首项为14的等差数列，则a+b的值是______．

题文

若关于x的方程x²-x+a=0和x²-x+b=0（a≠b）的四个根组成首项为14的等差数列，则a+b的值是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题可知x1=14是方程的一个实根，
代入两个方程可得a=316或者b=316．
因为题目说a不等于b，所以取a=316．
解x2-x+316=0，得x1=14，x2=34．
因为4个实根可以组成等差数列，
所有可以知道这4个实根可能是14，24，34，1或14，34，54，74．
也就是说24，1或54，74是方程x2-x+b=0的解．
然则代进去发现是错误的．
因此要考虑另外一种情况：
设x²-x+b=0的2实根为x₃，x₄，
4个实根组成的等差数列为14，x3，x4，34．
根据等差数列的公式可以得两个方程，
x3-14=34-x4和2x3=14+x4，
解得x3=512，x4=712，
代入原方程验证成立，
同时解得b=35144，
也就是所a+b=3172．
故答案为3172．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：