已知等差数列{an}的前n项和为An，a1+a5=6，A9=63．求数列{an}的通项公式an及前n项和An；数列{bn}的前n项和Bn满足：6Bn

题文

已知等差数列{a_n}的前n项和为A_n，a₁+a₅=6，A₉=63．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和A_n；
（2）数列{b_n}的前n项和B_n满足：6Bn=8bn-1，(n∈N*)，数列{a_n•b_n}的前n项和为S_n，求证：Sn4n≥-18． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵A₉=63，∴9a₅=63，∴a₅=7
∵a₁+a₅=6，∴a₁=-1，∴d=a5-a14=2
∴a_n=2n-3，A_n=n(-1+2n-3)2=n²-2n
（2）证明：∵6Bn=8bn-1，6Bn-1=8bn-1-1，(n≥2，n∈N*)
∴两式相减可得：6b_n=8b_n-8b_n-1
∴bnbn-1=4（n≥2）
∵6b₂=8b₁-1
∴b₁=12
∴b_n=2^2n-3
∴a_nb_n=（2n-3）•2^2n-3
∴S_n=-1•2^-1+1•2¹+…+（2n-3）•2^2n-3
∴4S_n=-1•2¹+1•2³+…+（2n-3）•2^2n-1
两式相减可得-3S_n=(11-6n)22n-116
∴Sn4n=6n-1118+1118•4n
∴Sn+14n+1-Sn4n=-116×4n+1＞0
∴Sn4n随着n的增大而增大
∴Sn4n≥S14=-18

解析

a5-a14

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的前n项和为An，a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：