题文
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2.数列{bn}为等比数列,且b1=1,b4=8.(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{cn}满足cn=abn,求数列{cn}的前n项和Tn,并证明Tn≥1. 题型:未知 难度:其他题型
答案
(Ⅰ)∵数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
当n=1时,a1=S1=1亦满足上式,故an=2n-1,(n∈N*).
数列{bn}为等比数列,设公比为q,
∵b1=1,b4=b1q3=8,∴q=2.
∴bn=2n-1(n∈N*).
(Ⅱ)证明:cn=abn=2bn-1=2n-1.
∴Tn=c1+c2+c3+…cn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…2n)-n=2(1-2n)1-2-n
∴Tn=2n+1-2-n.
∵Tn-Tn-1=2n-1>0,∴Tn>Tn-1,∴Tn>Tn-1>…>T1=1.
∴Tn≥1.
解析
2(1-2n)1-2考点
据考高分专家说,试题“已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式等差数列的通项公式:
an=a1+(n-1)d,n∈N*。
an=dn+a1-d,d≠0时,是关于n的一次函数,斜率为公差d;
an=kn+b(k≠)
{an}为等差数列,反之不能。
对等差数列的通项公式的理解:
①从方程的观点来看,等差数列的通项公式中含有四个量,只要已知其中三个,即可求出另外一个.其中a1和d是基本量,只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项;
②从函数的观点来看,在等差数列的通项公式中,。。是n的一次函数,其图象是直线y=dx+(a1-d)上均匀排开的一列孤立点,我们知道两点确定一条直线,因此,给出一个等差数列的任意两项,等差数列就被唯一确定了,
等差数列公式的推导:
等差数列的通项公式可由
归纳得出,当然,等差数列的通项公式也可用累加法得到: