设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-n．求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；（

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出a_n关于n的表达式；
（2）若数列{1anan+1}前n项和为T_n，问满足Tn＞100209的最小正整数n是多少？． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），得a_n-a_n-1=2（n=2，3，4，）．
所以数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列．
所以a_n=2n-1．
（Ⅱ）Tn=1a1a2+1a2a3++1an-1an=11×3+13×5+15×7++1(2n-1)(2n+1)=12[(11-13)+(13-15)+(15-17)++(12n-1-12n+1)]=12(1-12n+1)=n2n+1
由Tn=n2n+1＞100209，得n＞1009，满足Tn＞100209的最小正整数为12．

解析

1a1a2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：