已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．求数列{an}的通项公式；设b

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=1n(an+3)(n∈N*)，Sn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有S_n＞t36总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，…（2分）
整理得2a₁d=d²．
∵a₁=1，解得（d=0舍），d=2．…（4分）
∴a_n=2n-1（n∈N^*）．…（6分）
（2）bn=1n(an+3)=12n(n+1)=12(1n-1n+1)，
∴Sn=b1+b2+…+bn=12[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=12(1-1n+1)=n2(n+1)．…（10分）
假设存在整数t满足Sn＞t36总成立．
又Sn+1-Sn=n+12(n+2)-n2(n+1)=12(n+2)(n+1)＞0，
∴数列{S_n}是单调递增的． …（12分）
∴S1=14为Sn的最小值，故t36＜14，即t＜9．
又∵t∈N^*，
∴适合条件的t的最大值为8．…（14分）

解析

1n(an+3)

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项a1=1，公差.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：