已知函数f(x)=log2x-log12x，数列{an}的前n项和为Sn，f(2an)=6n-92，n∈N*．求数列{an}的通项公式；设bn=S

题文

已知函数f(x)=log2x-log12x，数列{an}的前n项和为Sn，f(2an)=6n-92，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=Snn+λ，cn=bn•2bn，若非零常数λ使得{b_n}为等差数列，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵f(x)=log2x-log12x=log2x12+log₂x=12log₂x+log₂x=32log2x
∴f(2an)=6n-92=32log2(2an)=32an，
故a_n=4n-3
（II）由（I）得S_n=2n²-n，要使bn=Snn+λ=2n(n-12)n+λ为等差数列的通项公式
则b_n=2n(n-12)n+λ应是关于n的一次函数，又由λ≠0
故λ=-12
此时b_n=2n，cn=bn•2bn=2n•4ⁿ，
故T_n=2•4¹+2×2•4²+…+2（n-1）•4^n-1+2n•4ⁿ，…①
4T_n=0+2•4²+4•4³+…+2（n-1）•4ⁿ+2n•4ⁿ⁺¹，…②
①-②得：
-3T_n=2•4¹+2•4²+…+2•4ⁿ-2n•4ⁿ⁺¹=（23-2n）4ⁿ⁺¹-83
∴T_n=（23n-29）4ⁿ⁺¹+89

解析

x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=log2x-log12.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：