已知各项均为正数的等差数列{an}的前以项和为Sn，若S3=18，且a1+1，a2，a3成等比数列．求{an}的通项公式；记bn=an3n+1(n∈

题文

已知各项均为正数的等差数列{a_n}的前以项和为S_n，若S₃=18，且a₁+1，a₂，a₃成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=an3n+1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S₃=18，a₁+1，a₂，a₃成等比数列
∴a22=(a1+1)a3
∴3a1+3d=18(a1+d)2=(1+a1)(a1+2d)
解可得，d=3或d=-2（舍去），a₁=3
∴a_n=3+3（n-1）=3n
（2）∵bn=an3n+1=3n3n+1=n3n
∴T_n=1•13+2•132+…+n•13n
13Tn=1•132+2•133+…+n-13n+n3n+1
两式相减可得，23Tn=13+132+…+13n-n3n+113(1-13n)1-13-n3n+1
∴Tn=3-3n-14-n2•3n

解析

3a1+3d=18(a1+d)2=(1+a1)(a1+2d)

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的等差数列{an}的前以.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：