已知数列{an}是等差数列，a1+a2+a3=15，数列{bn}是等比数列，b1b2b3=27．若a1=b2，a4=b3．求数列{an}和{bn}的通项公

题文

已知数列{a_n}是等差数列，a₁+a₂+a₃=15，数列{b_n}是等比数列，b₁b₂b₃=27．
（1）若a₁=b₂，a₄=b₃．求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃是正整数且成等比数列，求a₃的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a₁+a₂+a₃=15，b₁b₂b₃=27．
可得a₂=5，b₂=3，
所以a₁=b₂=3，从而等差数列{a_n}的公差d=2，
所以a_n=2n+1，从而b₃=a₄=9，{b_n}的公比q=3
所以bn=3n-1． …（3分）
（2）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
则a₁=5-d，b1=3q，a₃=5+d，b₃=3q．
因为a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，所以(a1+b1)•(a3+b3)=(a2+b2)2=64．
设a1+b1=ma3+b3=n，m，n∈N^*，mn=64，
则5-d+3q=m5+d+3q=n，整理得，d²+（m-n）d+5（m+n）-80=0．
解得d=n-m+(m+n-10)2-362（舍去负根）．
∵a₃=5+d，
∴要使得a₃最大，即需要d最大，即n-m及（m+n-10）²取最大值．
∵m，n∈N^*，mn=64，
∴当且仅当n=64且m=1时，n-m及（m+n-10）²取最大值．
从而最大的d=63+7612，
所以，最大的a3=73+7612…（16分）

解析

3q

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等差数列，a1+a2+.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：