已知正数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn=14(an+1)2，数列{bn}是首项为1，公比为12的等比数列．求数列{an}、{bn}的通项公式；

题文

已知正数列{a_n}的前n项和为S_n，且有S_n=14(an+1)2，数列{b_n}是首项为1，公比为12的等比数列．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c=a_nb_n，求：数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）求证：1S1+1S2+1S3+…+1Sn＜53． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由Sn=14(an+1)2，
当n=1时，a1=14(a1+1)2，∴a₁=1，
当n≥2时，Sn-1=14(an-1+1)2，
∴an=Sn-Sn-1=14(a2n-a2n-1+2an-2an-1)，
即（a_n+a_n+1）（a_n-a_n-1-2）=0，∵a_n＞0，
∴数列{a_n}是a₁=1，d=2的等差数列
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
∵数列{b_n}是首项为1，公比为12的等比数列．
∴bn=b1qn-1=1×(12)n-1=(12)n-1．
（2）c_n=a_nb_n=2n-12n-1，T_n=c₁+c₂+…+c_n
Tn=1+32+522+…+2n-12n-1，①
12Tn=12+322+…+2n-32n-1+2n-12n，②
①-②得12Tn=1+1+12+122+…+12n-2-2n-12n=2(1-(12)n)1-12-1-2n-12n=3-12n-2-2n-12n，
∴Tn=6-2n+32n-1
（3）∵Sn=14(an+1)2=14(2n-1+1)2=n²，
当n≥2，1Sn=1n2＜1n2-1=12(1n-1-1n+1)，
∴1S1+1S2+…+1Sn＜1+122+12[(12-14)+(13-15)+…+(1n-2-1n)+(1n-1-1n+1)]
=1+14+12(12+13-1n-1n+1)＜1+14+12(12+13)=1+14+14+16=53．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知正数列{an}的前n项和为Sn，且有.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：