已知等差数列{an}，a2=8，前9项和为153．求a5和an；若bn=2an，证明数列{bn}为等比数列；若从数列{an}中，依次取出第二项

题文

已知等差数列{a_n}，a₂=8，前9项和为153．
（Ⅰ）求a₅和a_n；
（Ⅱ）若bn=2an，证明数列{b_n}为等比数列；
（Ⅲ）若从数列{a_n}中，依次取出第二项，第四项，第八项，…，第2ⁿ项，按原来的顺序组成一个新的数列{c_n}，求数列{c_n}的前n项和T_n 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
则S9=9(a1+a9)2=153，
∴9×2a52=153.
∴a₅=17．
∵a2=a1+d=8a5=a1+4d=17.，∴a1=5d=3.
∴a_n=3n+2．
（Ⅱ）bn+1bn=23(n+1)+223n+2=23=8.
∴数列{b_n}是首项为32，公比为8的等比数列．
（Ⅲ）Tn=a2+a4+a8++a2n
=3（2+4+8+…+2ⁿ）+2n
=3×2(1-2n)1-2+2n
=3•2ⁿ⁺¹+2n-6．

解析

9(a1+a9)2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}，a2=8，前9项和.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：