已知等差数列{an}中a1=1，公差d＞0，前n项和为Sn，且S1，S3-S2，S5-S3成等比数列．求数列{an}的通项公式an及Sn；设bn=1

题文

已知等差数列{a_n}中a₁=1，公差d＞0，前n项和为S_n，且S₁，S₃-S₂，S₅-S₃成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ）设bn=1Sn(n∈N•)，证明：b₁+b₂+…+b_n＜2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意S₁=a₁=1，S₃-S₂=a₃=1+2d，S₅-S₃=a₄+a₅=2+7d，
∵S₁，S₃-S₂，S₅-S₃成等比数列，
∴（1+2d）²=1×（2+7d），
解得d=-14（舍去）或d=1
∴a_n=n，
Sn=n(n+1)2．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得bn=1Sn=2n(n+1)=2(1n-1n+1)
∴b₁+b₂+…+b_n=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=2(1-1n+1)＜2
即b₁+b₂+…+b_n＜2．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}中a1=1，公差d＞.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：