设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S10＞0，S13＜0．求公差d的取值范围；若公差d∈Z，Sn为{an}的前n项和，Tn=12n

题文

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12，S₁₀＞0，S₁₃＜0．
（1）求公差d的取值范围；
（2）若公差d∈Z，S_n为{a_n}的前n项和，Tn=12n+75n，求证：对任意n∈N^*，S_n＜T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵等差数列{a_n}中，a₃=12，S₁₀＞0，S₁₃＜0，
∴a1+2d=1210a1+10×92d＞013a1+13×122d＜0，
解得-245＜d＜-3，
∴公差d的取值范围是（-245，-3）．
（2）∵-245＜d＜-3，d∈Z，
∴d=-4，
∵a₁+2d=12，
∴a₁=20，
∴S_n=20n+n(n-1)2×(-4)=-2n²+22n=-2（n-112）²+1212，
∴n=5或n=6时，
（S_n）_max=60，
又Tn=12n+75n≥212n•75n=60，
即（T_n）_min＞60，
∴S_n＜T_n．

解析

a1+2d=1210a1+10×92d＞013a1+13×122d＜0

考点

据考高分专家说，试题“设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：