设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=23，a5+b3=17．求{an}，{bn}的通项公式；设cn

题文

设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=23，a₅+b₃=17．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由已知可得，1+2d+q4=231+4d+q2=17
由等比数列的各项都为正可得，q＞0
解可得，q=2，d=3
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2，b_n=2^n-1
（II）由（1）可得，C_n=（3n-2）•2^n-1
S_n=1•2⁰+4•2¹+…+（3n-2）•2^n-1
2S_n=1•2+4•2²+…+（3n-5）•2^n-1+（3n-2）•2ⁿ
两式相减可得，-S_n=1+3（2+2²+2^n-1）-（3n-2）•2ⁿ=1+3×2(1-2n-1)1-2-(3n-2)•2n
S_n=（3n-5）•2ⁿ+5

解析

1+2d+q4=231+4d+q2=17

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是等差数列，{bn}是各项都为.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：