已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2+n(n∈N*)．求数列{an}的通项公式；若bn=2(n+1)an，求数列{bn}的前n项和Tn

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足Sn=n2+n(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=2(n+1)an，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若∃n∈N^*，使T_n＜C成立，求实数C的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）当n=1时，a₁=S₁=1+n=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+n-1]=2n．当n=1时也成立．
∴an=2n(n∈N*)．
（II）∵bn=2(n+1)an=22n(n+1)=1n-1n+1．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)
=1-1n+1
=nn+1．
（III）若∃n∈N^*，使T_n＜C成立⇔（T_n）_min＜C，
∵n≥1，Tn=1-1n+1≥1-11+1=12，即(Tn)min=12．
∴实数C的取值范围是(12，+∞)．

解析

2(n+1)an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：