已知数列an中a1=1，点P在直线y=x+2上，求数列an的通项公式；设Sn=a12+a222+…+an2n，求Sn．

题文

已知数列a_n中a₁=1，点P（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上，
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设Sn=a12+a222+…+an2n，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）因为点P（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上，
所以a_n+1=a_n+2，
即a_n+1-a_n=2，
又因为a₁=1，
所以数列a_n是首项为1，公差为2的等差数列，
从而a_n=2n-1．
（2）由题有Sn=a12+a222++an2n=12+322++2n-12n
则12Sn=122+323++2n-12n+1，
两式相减得：12Sn=12+(222+223++22n)-2n-12n+1
所以Sn=3-2n+32n

解析

a12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列an中a1=1，点P（an，an.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：