数列{an}的前几项Sn=n2，数列{bn}为等比数列，且b2=3，b5=81．求a2、a3求数列{an}和{bn}的通项公式设cn=an•b

题文

数列{a_n}的前几项S_n=n²，数列{b_n}为等比数列，且b₂=3，b₅=81．
（1）求a₂、a₃
（2）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}的前n项S_n=n²，
∴S₁=1，S₂=4，S₃=9，
∴a₂=S₂-S₁=3
a₃=S₃-S₂=4
（2）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
又由n=1时，2n-1=1
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1
等比数列{b_n}中，∵b₂=3，b₅=81．
∴q³=813=27
解得q=3
∴等比数列{b_n}的通项公式为b_n=b₂•q^n-2=3×3^n-2=3^n-1
（3）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3^n-1
∴T_n=1×1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1…①
3T_n=1×3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ…②
①-②得
-2T_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ=1+3ⁿ-3-（2n-1）•3ⁿ=（2-2n）•3ⁿ-2
∴T_n=（n-1）3ⁿ+1

解析

813

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前几项Sn=n2，数列{b.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：