已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，已知a3=11，S9=153，求数列{an}的通项公式；设bn=2an，证明：{bn}是等比数列，并求其前

题文

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，已知a₃=11，S₉=153，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=2an，证明：{b_n}是等比数列，并求其前n项和A_n．
（3）设cn=1anan+1，求其前n项和B_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵{a_n}是等差数列，a₃=11，S₉=153，
∴9a₅=153，
∴a₅=17，
∴其公差d=a5-a35-3=3，
∴a_n=a₅+（n-5）×d=17+（n-5）×3=3n+2；
（2）∵b_n=2an，a_n=3n+2，
∴bn+1bn=2an+1-an=2^d=2³=8，且b₁=2⁵=32，
∴{b_n}是以32为首项，8为公比的等比数列，
∴其前n项和A_n=327（8ⁿ-1）；
（3）∵a_n=3n+2，
∴1anan+1=1(3n+2)(3n+5)=13（13n+2-13n+5），
∴B_n=13[（15-18）+（18-111）+…+（13n+2-13n+5）]
=13（15-13n+5）
=n15n+25．

解析

a5-a35-3

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：