已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，S3=39．求数列{an}通项公式；若在an与an+1之间插入n个数，使得这n+2个数

题文

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，S₃=39．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若在a_n与a_n+1之间插入n个数，使得这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列，求证：1d1+1d2+…+1dn＜58． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₁=3，S₃=39，∴q≠1，3(1-q3)1-q=39，
∴1+q+q²=13．∴q=3，或q=-4（舍），
故an=3n．…（6分）
（Ⅱ）∵an=3n，则an+1=3n+1，由题知：
a_n+1=a_n+（n+1）d_n，则dn=2×3nn+1．
由上知：1dn=n+12×3n，
所以Tn=1d1+1d2+…+1dn=22×3+32×32+…+n+12×3n，
13Tn=22×32+32×33+…+n+12×3n+1，
所以23Tn=13+12(13 2+13 3+…+13 n)-n+12×3n+1
=13+12×19[1-(13)n-1]1-13-n+12×3n+1
=512-5+2n4×3n+1，
所以Tn=58-5+2n8×3n＜58．
故1d1+1d2+…+1dn＜58．…（12分）

解析

3(1-q3)1-q

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的等比数列{an}的前n.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：