已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7．将集合{x|x=an，n∈N*}∪{x|x=bn，n∈N*}中的元素从小到

题文

已知数列{a_n}和{b_n}的通项公式分别为a_n=3n+6，b_n=2n+7（n∈N^*）．将集合{x|x=a_n，n∈N^*}∪{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c₁，c₂，c₃，…，c_n，…
（1）写出c₁，c₂，c₃，c₄；
（2）求证：在数列{c_n}中，但不在数列{b_n}中的项恰为a₂，a₄，…，a_2n，…；
（3）求数列{c_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₁=3×1+6=9；     a₂=3×2+6=12              a₃=3×3+6=15
b₁=2×1+7=9               b₂=2×2+7=11             b₃=2×3+7=13 
∴c₁=9；c₂=11；c₃=12；c₄=13
（2）解对于a_n=3n+6，
当n为奇数时，设为n=2k+1
则3n+6=2（3k+1）+7∈{b_n}
当n为偶数时，设n=2k则3n+6=6k-1+7不属于{b_n}
∴在数列{c_n}中，但不在数列{b_n}中的项恰为a₂，a₄，…，a_2n，…；
（3）b_3k-2=2（3k-2）+7=a_2k-1
b_3k-1=6k+5 
a_2k=6k+6
b_3k=6k+7
∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7
∴当k=1时，依次有b₁=a₁=c₁，b₂=c₂，a₂=c₃，b₃=c₄…
∴cn=6k+3(n=4k-3)6k+5(n=4k-2)6k+6(n=4k-1)6k+7(n=4k)

解析

6k+3(n=4k-3)6k+5(n=4k-2)6k+6(n=4k-1)6k+7(n=4k)

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}和{bn}的通项公式分别.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：