已知数列{an}是首项a1=a，公差为2的等差数列，数列{bn}满足2bn=an；若a1、a3、a4成等比数列，求数列{an}的通项公式；

题文

已知数列{a_n}是首项a₁=a，公差为2的等差数列，数列{b_n}满足2b_n=（n+1）a_n；
（1）若a₁、a₃、a₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意n∈N^*都有b_n≥b₅成立，求实数a的取值范围；
（3）数列{c_n}满足 cn+1-cn=(12)n(n∈N*)，其中c₁=1，f（n）=b_n+c_n，当a=-20时，求f（n）的最小值（n∈N^*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a₁、a₃、a₄成等比数列，所以a₁•a₄=a₃²，即a•（a+6）=（a+4）²，a=-8．
所以a_n=-8+（n-1）×2=2n-10…（4分）
（2）由2b_n=（n+1）a_n，bn=n2+a2n+a-22=(n+a4)2-(a-44)2，…（6分）
由题意得：92≤-a4≤112，-22≤a≤-18…（10分）
（3）因为cn+1-cn=(12)n，
所以c_n=c₁+（c₂-c₁）+（c₃-c₂）+…+（c_n-c_n-1）=1+12+(12)2+…+(12)n-2+(12)n-1=1-(12)n1-12=2-12n-1…（13分）
所以f（n）=b_n+c_n=n2+a2n+a-22+2-(12)n-1，
则f(n+1)=(n+1)2+a2(n+1)+a-22+2-(12)n-1，f(n+1)-f(n)=[(n+1)2+a2(n+1)+a-22+2-(12)n]-[n2+a2n+a-22+2-(12)n-1]=2n+1+(12)n-10=2n+(12)n-9…（14分）
所以当k＞10时，f(n+1)-f(n)=2n+(12)n-9＞0
即f（5）＜f（6）＜…＜f（n）＜…（15分）
所以当1≤n≤4时，f(n+1)-f(n)=2n+(12)n-9＜8+12-9＜0
即f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）…（16分）
f(n)=n2+a2n+a-22+2-(12)n-1=n2-10n-9-(12)n-1
所以 f（5）-f（4）＜0，所以f(n)min=f(5)=-54516…（18分）

解析

a2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项a1=a，公差为2.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：