已知数列{bn}满足条件：首项b1=1，前n项之和Bn=3n2-n2．求数列{bn}的通项公式；设数列{an}的满足条件：an=an-

题文

已知数列{b_n}满足条件：首项b₁=1，前n项之和B_n=3n2-n2．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{an}的满足条件：an=（1+1bn） a_n-1，且a₁=2，试比较a_n与3bn+1的大小，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n＞1时，b_n=B_n-B_n-1
=3n2-n2-3(n-1)2-(n-1)2=3n-2
令n=1得b1=1，
∴bn=3n-2．（5分）
（2）由an=（1+1bn）a_n-1，得anan-1=1+1bn
∴an=anan-1•an-1an-2•a2a1a1
由a₁=2，bn=3n-2知，
an=（1+13n-2）（1+13n-5）（1+14）2
=（1+1）（1+14）（1+13n-2）
又3bn+1=33(n+1)-2=33n+1，（5分）
设c_n=33n+1，
当n=1时，有（1+1）=38＞33×1+1=34
当n=2时，有an=（1+1）（1+14）=52
=31258＞3568=33×2+1=c_n
假设n=k（k≥1）时an＞c_n成立，
即（1+1）（1+14）（1+13k-2）＞33k+1成立，
则n=k+1时，
左边═（1+1）（1+14）（1+13k-2）（1+13(k+1)-2）
＞33k+1（1+13(k+1)-2）=33k+13k+23k+1（3分）
右边=c_k+1=33(k+1)+1=33k+4
由（ak+1）³-（c_k+1）³=（3k+1）(3k+2)3(3k+1)3-（3k+4）
=(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2(3k+1)2
=9k+4(3k+1)2＞0，得ak+1＞c_k+1成立．
综合上述，an＞c_n对任何正整数n都成立．（3分）

解析

3n2-n2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{bn}满足条件：首项b1=1，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：