已知等比数列{an}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．求数列{an}的通项公式；设bn=log4an．证明：{bn}为等差数列，并求{bn

题文

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，a₂=8，a₃+a₄=48．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₄a_n．证明：{b_n}为等差数列，并求{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意 q＞0．
∵a₂=8，a₃+a₄=48，∴a₁q=8，a1q2+a1q3=48．
两式相除得 q²+q-6=0，
解得 q=2，舍去 q=-3．
∴a1=a2q=4．
∴数列{a_n}的通项公式为 an=a1•qn-1=2n+1．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得 bn=log4an=n+12．
∵bn+1-bn=n+22-n+12=12，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为d=12的等差数列．
∴Sn=nb1+n(n-1)2d=n2+3n4．

解析

a2q

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的各项均为正数，a2.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：