已知a＞0，b＜0，且a+b≠0，令a1=a，b1=b，且对任意的正整数k，当ak+bk≥0时，ak+1=12ak-14bk，bk+1=34bk；当ak+bk＜

题文

已知a＞0，b＜0，且a+b≠0，令a₁=a，b₁=b，且对任意的正整数k，当a_k+b_k≥0时，ak+1=12ak-14bk，bk+1=34bk；当a_k+b_k＜0时，bk+1=-14ak+12bk，ak+1=34ak．
（1）求数列{a_n+b_n}的通项公式；
（2）若对任意的正整数n，a_n+b_n＜0恒成立，问是否存在a，b使得{b_n}为等比数列？若存在，求出a，b满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）若对任意的正整数n，a_n+b_n＜0，且b2n=34b2n+1，求数列{b_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a_k+b_k≥0时，ak+1=12ak-14bk，bk+1=34bk；
∴a_k+1+b_k+1=12ak-14bk+34bk=12(ak+bk)
当a_k+b_k＜0时，bk+1=-14ak+12bk，ak+1=34ak．
∴a_k+1+b_k+1=-14ak+12bk+34ak=12(ak+bk)
∴总有a_k+1+b_k+1=12(ak+bk)
∵a₁=a，b₁=b，
∴a₁+b₁=b+a
∴数列{a_n+b_n}是以a+b为首项，以12为公比的等比数列
∴b_n+a_n=（b+a）（12^）n-1．
（2）∵a_n+b_n＜0恒成立
∴（b+a）(12)n-1＜0恒成立
∴b+a＜0
∵当a_k+b_k＜0时，bk+1=-14ak+12bk，ak+1=34ak．
∴an=a•(34)n-1
∴bn=(a+b)•(12)n-1-a•(34)n-1不可能是个等比数列
故{b_n}不是等比数列
（3）∵a_n+b_n＜0，bk+1=-14ak+12bk，ak+1=34ak．
∴b2n+1=-14a2n+12b2n，a2n+1=34a2n
∵b2n=34b2n+1
∴b2n+1=43b2n=-14a2n+12b2n
∴b2n=-310a2n=-310a•(34)2n-1
∴b_n=-3a10•(34)n-1

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知a＞0，b＜0，且a+b≠0，令a1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：