已知n是正整数，数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=-an+12，数列的前n项和为Tn．求数列{an}的通项公式；求Tn；

题文

已知n是正整数，数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=-a_n+12（n-3），数列（na_n）的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求T_n；
（3）设A_n=2T_n，B_n=（2n+4）S_n+3，试比较A_n与B_n的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，由已知可得，S₁=a₁=-a1+12(1-3)
解得a₁=-12…2分
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-an+12（n-3）-[-an-1+12（n-4）]
解得 a_n=12an-1+14，即an-12═12(an-1-12)
因此，数列{an-12 }是首项为-1，公比为 12的等比数列
∴an-12=-(12)n-1
∴a_n=12-12n-1
（II）∵nan=n2-n2n-1
∴Tn=（1+2+3+…+n）-（1+2×12+3×122+…+n×12n-1 ）…6分
令Un=1+2×12+3×122+…+n×12n-1
则12 Un=12+2×122+3×123+…+n×12n．
上面两式相减：12 Un=1+12+122+…+12n-1-n×12n
=1-12n1-12-n•12n，
即Un=4-n+22n-1
∴Tn=n(n+1)4-4+n+22n-1=n2+n-164+n+22n-1
（III）∵S_n=-a_n+n-32
=-12+12n-1+n-32
=n-42+12n-1
∴An-Bn=n2+n-162+n+22n-2-(2n+4)(n-4)2-n+22n-2-3
=-n2+5n-62
∵当n=2或n=3时，-n2+5n-62的值最大，最大值为0，
∴A_n-B_n≤0．
∴A_n≤B_n．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知n是正整数，数列{an}的前n项和为.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：