已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10．求数列{an}的通项公式；记bn=an•(12)n-1，求数列{bn}的前n项和Sn．

题文

已知等差数列{a_n}满足a₂=0，a₆+a₈=-10．
（I） 求数列{a_n}的通项公式；
（II）记b_n=a_n•(12)n-1，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵等差数列{a_n}满足a₂=0，a₆+a₈=-10，
∴a1+d=0a1+5d+a1+7d=-10，
解得a₁=1，d=-1．
∴a_n=1+（n-1）×（-1）=2-n．
（II）∵a_n=2-n，
∴b_n=a_n•(12)n-1=（2-n）•（12）^n-1，
∴{b_n}的前n项和S_n=（2-1）•（12）⁰+（2-2）•（12）¹+（2-3）•（12）²+（2-4）•（12）³+…+（2-n）•（12）ⁿ，①
12Sn=（2-1）•（12）+（2-2）•（12）²+（2-3）•（12）³+（2-4）•（12）⁴+…+（2-n）•（12）ⁿ⁺¹，②
①-②，得12Sn=1-[12+（12）²+（12）³+…+（12）ⁿ]-（2-n）•（12）ⁿ⁺¹
=1-12[1-(12)n]1-12-（2-n）•（12）ⁿ⁺¹
=（12）ⁿ-（2-n）•（12）ⁿ⁺¹，
∴S_n=（12）^n-1-（2-n）•2ⁿ．

解析

a1+d=0a1+5d+a1+7d=-10

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}满足a2=0，a6+.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：