已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a2=3，S6=36．求数列{an}的通项公式；若数列{bn}是等比数列且满足b1+b2=3，b4+b5=

题文

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n且满足a₂=3，S₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是等比数列且满足b₁+b₂=3，b₄+b₅=24．设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}是等差数列，
∴S₆=3（a₁+a₆）=3（a₂+a₅）=36．
∵a₂=3，∴a₅=9，∴3d=a₅-a₂=6，∴d=2，
又∵a₁=a₂-d=1，∴a_n=2n-1．
（2）由等比数列{b_n}满足b₁+b₂=3，b₄+b₅=24，
得b4+b5b1+b2=q³=8，∴q=2，
∵b₁+b₂=3，∴b₁+b₁q=3，∴b₁=1，b_n=2^n-1，
∴a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1．
∴T_n=1×1+3×2+5×2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）•2^n-1，
则2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
两式相减得（1-2）T_n=1×1+2×2+2×2²++2•2^n-2+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ，即
-T_n=1+2（2¹+2²++22^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+2（2ⁿ-2）-（2n-1）•2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

解析

b4+b5b1+b2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：