设M=10a2+81a+207，P=a+2，Q=26-2a；若将lgM，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列{an}的前三项．试比较M、P、Q

题文

设M=10a²+81a+207，P=a+2，Q=26-2a；若将lgM，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列{a_n}的前三项．
（1）试比较M、P、Q的大小；
（2）求a的值及{a_n}的通项；
（3）记函数f（x）=a_nx²+2a_n+1x+a_n+2（n∈N*）的图象在x轴上截得的线段长为b_n，设T_n=14(b1b2+b2b3+…+bn-1bn）（n≥2），求T_n，并证明T₂T₃T₄…T_n＞2n-1n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由M=10a2+81a+207＞0P=a+2＞0Q=26-2a＞0，得-2＜a＜13，
∵M-Q=10a²+83a+181＞0（∵△₁＜0），M-P=10a²+80a+205＞0（∵△₂＜0），∴M＞Q，M＞P，
又∵当-2＜a＜13时，P-Q=-24+3a，
则当-2＜a＜8时，P＜Q，此时P＜Q＜M，
当a=8时，P=Q，此时P=Q＜M，
当8＜a＜13时，P＞Q，此时Q＜P＜M；
（2）由（1）知，当-2＜a＜8时，lgP+1=lgQlgM=1+lgQ即10P=QM=10Q，∴26-2a=10(a+2)10a2+81a+207=10(26-2a)，
解得a=12，从而a_n=lgP+（n-1）×1=n-2lg2；
当8＜a＜13时，lgQ+1=lgPlgM=1+lgP即P=10QM=10P，∴a+2=10(26-2a)10a2+81a+207=10(a+2)，a无解．
综上，a=12，a_n=n-2lg2；
（3）设f（x）与x轴交点为（x₁，0），（x₂，0），
∵2a_n+1=a_n+a_n+2，∴-1为f（x）的一个零点，
∴当f（x）=0时有（x+1）（a_nx+a_n+2）=0，∴x1=-1， x2=-an+2an=-an+2an，
∴bn=|x1-x2|=|-1+an+2an|=2|an|，
又∵a_n=n-2lg2＞0，∴bn=2an，
∴bn-1bn=2an-1×2an=4(1an-1-1an)，
∴Tn=14×4[(1a1-1a2)+(1a2-1a3)+…+(1an-1-1an)]=1a1-1an=11-2lg2-1n-2lg2=n-1(1-2lg2)(n-2lg2)，
又Tn=n-1(1-2lg2)(n-2lg2)＞n-112n=2(n-1)n，
∴T2T3T4…Tn＞22•2•23•2•34•2•45…2(n-1)n=2n-1n．

解析

M=10a2+81a+207＞0P=a+2＞0Q=26-2a＞0

考点

据考高分专家说，试题“设M=10a2+81a+207，P=a+.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：