已知函数f=px2+qx，其中p＞0，p+q＞1，对于数列{an}，设它的前n项和为Sn，且满足Sn=f．求数列{an}的通项公式

题文

已知函数f（x）=px²+qx，其中p＞0，p+q＞1，对于数列{a_n}，设它的前n项和为S_n，且满足S_n=f（n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明a_n+1＞a_n＞1（n∈N^*）；
（2）求证：点M1(1，S11)，M2(2，S22)，M3(3，S33)，…，Mn(n，Snn)在同一直线l₁上；
（3）若过点N₁（1，a₁），N₂（2，a₂）作直线l₂，设l₂与l₁的夹角为θ，求tanθ的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=f（n）=pn²+qn∴当n=1时，a₁=s₁=p+q
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=pn²+qn-[p（n-1）²+q（n-1）]=2pn-p+q
由于n=1时，a₁=p+q适合上式，故数列{a_n}的通项公式为a_n=2pn-p+q…（3分）
又∵a_n+1-a_n=2p＞0，
∴{a_n}是首项为p+q，公差为2p的等差数列，∴a_n+1＞a_n＞…＞a₁=p+q＞1，
∴a_n+1＞a_n＞1…（4分）
（2）设M_i，M_j（i≠j）是M₁，M₂，…，M_n中任意两点，则Mi(i，Sii)，Mj(j，Sjj)∵kMiMj=Sii-Sjji-j=jSi-iSjij(i-j)=j•i(a1+ai)2-i•j(a1+aj)2ij(i-j)=ij(a1+ai)-ij(a1+aj)2ij(i-j)=ai-aj2(i-j)=[a1+(i-1)2p]-[a1+(j-1)2p]2(i-j)
=P…（8分）
∴M_i，M_j两点连线的斜率为定值P，又M_i，M_j是M₁，M₂，…，M_n中任意两点，
∴点M₁，M₂，…，M_n在同一直线l₁上…（9分）
（3）∵N₁，N₂两点连线的斜率为k2=a2-a12-1=2p，
又∵直线l₁的斜率为k₁=p，由夹角公式得
tanθ|k1-k21+k1k2|=p1+2p2=11p+2p≤12

解析

Sii

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=px2+qx，其中p＞.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：