在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形。

题文

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形。 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C，           ①
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π，      ②
由①②得，B=

，                                                 ③
由a，b，c成等比数列，有b²=ac，                          ④
由余弦定理及③，可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac， 
再由④，得a²+c²-ac=ac，
即(a-c)²=0，因此a=c，
从而A=C，                                                              ⑤
由②③⑤，得A=B=C=

，
所以△ABC为等边三角形。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“在△ABC中，三个内角A，B.....”主要考查你对 [等差中项 ]考点的理解。 等差中项

等差中项:

若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且2A=a+b,即

，反之，若

，则a，A，b成等差数列。

等差数列中相邻三项之间存在如下关系：

（1）



反之，若数列中相邻三项之间存在如下关系：

则该数列是等差数列，
（2） 若a，A,b成等差数列，那么

2A=a+b，A-a =b -A，a-A =A -b都是等价的．