在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2 009根．现将它们堆放在一起， (Ⅰ)若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1

题文

在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2 009根．现将它们堆放在一起，
(Ⅰ)若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？
(Ⅱ)若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于7层，圆钢没有剩余．
(1)共有几种不同的方案？
(2)已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地（即最下层占用面积最少）? 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)当纵断面为正三角形时，设共堆放n层，
则从上到下每层圆钢根数是以1为首项，1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于n根，
从而由

且n∈N*得，
当n=62 时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢。
(Ⅱ)(1)当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层，
则从上到下每层圆钢根数是以x为首项，1为公差的等差数列，
从而nx+

n(n-1)=2009，
即n(2x+n-1)=2×2009=2×7×7×41，
因n-1与n的奇偶性不同，
所以2x+n-1与n的奇偶性也不同，且n＜2x+n-1，
从而由上述等式得：


或

或

或

，
所以共有4种方案可供选择． 
(2)因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，
所以由(1)可知：
若n= 49，则x=17，说明最七层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为240

cm，显然大于4m，不合条件，舍去；



 若n=41，则x=29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400cm，上下底之长分别为280cm，680cm，从而梯形之高为200

cm，而200

+10＜400，所以符合条件；
综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“在金融危机中，某钢材公司积压.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．